(IME - 2016/2017)
Sejam uma progressão aritmética e uma progressão geométrica de termos inteiros, de razão e razão , respectivamente, onde e são inteiros positivos, com e . Sabe-se, também, que , . O val...
(IME - 2016/2017 - 1ª fase)
Sejam os pontos , , , e . A reta r passa por A e corta o lado CD, dividindo o pentágono ABCDE em dois polígonos de mesma área. Determine a soma das coordenadas do ponto de interseção da reta r com a reta que liga C e D.
(IME - 2016/2017 - 1ª fase)
Dado um quadrado ABCD, de lado a, marcam-se os pontos E sobre o lado AB, F sobre o lado BC, G sobre o lado CD e H sobre o lado AD, de modo que os segmentos formados AE, BF, CG e DH tenham comprimento igual a . A área do novo quadriláte...
(IME - 2016/2017 - 1ª fase)
Um tronco de pirâmide regular possui 12 vértices. A soma dos perímetros das bases é 36 cm, a soma das áreas das bases é cm2 e sua altura mede 3 cm. Calcule o volume
do tronco de pirâmide.
(IME - 2016/2017 - 1ª fase)
O polinômio P(x) = x3 - bx2 + 80x - c possui três raízes inteiras positivas distintas. Sabe-se que duas das raízes do polinômio são divisoras de 80 e que o produto dos divisores positivos de c menores do que c é c2...
(IME - 2016/2017 - 2ª fase)
Em um cone equilátero são inscritas duas esferas de raios e , conforme a figura abaixo. Um plano secante ao cone é traçado de forma que este seja tangente às duas esferas. Determine em termos de o ma...
(IME - 2016/2017 - 2ª fase)
Em um triângulo ABC, a medida da bissetriz interna AD é a média geométrica entre as medidas dos segmentos BD e DC, e a medida da mediana AM é a média geométrica entre os lados AB e AC. Os pontos D e M estão...
(IME - 2016/2017 - 2ª fase)
Um triângulo ABC tem o seu vértice A na origem do sistema cartesiano, seu baricentro é o ponto D(3,2) e seu circuncentro é o ponto E(55/18, 5/6). Determine:
• a equação da circunferência circunscrita do tri&a...
(IME - 2016/2017 - 2ª fase)
Seja M uma matriz real 2x2. Defina uma função f na qual cada elemento da matriz se desloca para a posição seguinte no sentido horário, ou seja, se implica que . Encontre todas as ma...