Questão 5

IME 2016

Matemática

(IME - 2016/2017 - 2ª fase)

Sejam os complexos $z = a + bi$ e $w = 47 + ci$ , tais que $z^3 + w = 0$ . Determine o valor de $a$ , $b$ e $c$ , sabendo que esses números são inteiros e positivos.

Gabarito:

Resolução:

$z = a + bi$

$w = 47 + ci$

$z^{3} = left(a + bi ight )^{3}$

$z^{3} = -w$

Desenvolvendo o binômio:

$z^{3} = a^{3} + 3a^{2}bi + 3abi^{2} + bi^{3}$

Lembrando que $i^{2} = -1$

$z^{3} = a^{3} - 3ab^{2} + 3a^{2}bi -b^3i$

Igualando a parte real de $z^{3}$ com a parte real de -w e a parte imaginária de $z^{3}$ com a parte imaginária de -w temos:

$left{egin{matrix} -47 = a^{3} -3ab^{2}\ -c = 3a^{2}b - b^{3} end{matrix} ight.$

$-47 = aleft(a^{2} - 3b^{2} ight )$

Observe que -47 pode ser escrito como o produto de -1 e 47 o u -47 e 1. Como a deve ser um número inteiro e positivo, ele pode assumir o valor de 1 ou 47.

Para o caso de a = 1

$a^{2}- 3b^{2} = -47$

$1- 3b^{2} = -47$

$- 3b^{2} = -48$

$b^{2} = frac{48}{3}$

b também deve ser inteiro e positivo:

$b = 4$

Dessa forma substituindo na segunda equação:

$-c = 3a^{2}b - b^{3}$

$-c = 12 - 64$

$c = 52$

Para o caso de a = 47

$a^{2}- 3b^{2} = -1$

$47^{2} - 3b^{2} = -1$

$3b^{2} = 2210$

Nesse caso b não será um número inteiro, então não satisfaz a condição.

Temos então:

a = 1, b = 4, c = 52

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