Questão 14

IME 2016

Matemática

(IME - 2016/2017 - 1ª fase)

Um tronco de pirâmide regular possui 12 vértices. A soma dos perímetros das bases é 36 cm, a soma das áreas das bases é cm² e sua altura mede 3 cm. Calcule o volume
do tronco de pirâmide.

50 cm³

cm³

42 $sqrt{3}$ cm³

Gabarito:

42 $sqrt{3}$ cm³

Resolução:

Como ele afirma que o tronco possui 12 vértices, podemos afirmar que é um tronco formado a partir de uma pirâmide de base hexagonal.

Chamaremos as arestas da base maior de $a_{1}$ e as da base menor de $a_{2}$ .

Temos que a soma dos perímetros das duas bases vale 36. Também nos é informado que a soma das áreas das bases é $30sqrt{3}$ . Portanto, temos o sistema:

Nota: Área do hexágono: $frac{3L^{2}sqrt{3}}{2}$

$left{egin{matrix} 6a_{1}+ 6a_{2} = 36\ 6frac{a_{1}^{2}sqrt{3}}{4} + 6frac{a_{2}^{2}sqrt{3}}{4} = 30sqrt{3} end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} a_{1} + a_{2} = 6\ frac{a_{1}^{2}}{4} + frac{a_{2}^{2}}{4} = 5 end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} a_{1} + a_{2} = 6\ a_{1}^{2}+ a_{2}^{2} = 20 end{matrix} ight.$

Resolvendo esse sistema:

$a_{1} = 4; a_{2} = 2$

A área da base maior é:

$3frac{4^{2}sqrt{3}}{2} = 24sqrt{3}$

A área da base menor é:

$3frac{2^{2}sqrt{3}}{2} = 6sqrt{3}$

Com isso, temos que o volume do tronco de pirâmide é igual a:

$V = frac{h}{3}left(A_{1}+ sqrt{A_{1}.A_{2}} + A_{2} ight )$

$V = frac{3}{3}left(24sqrt{3}+ sqrt{24sqrt{3}.6sqrt{3}} + 6sqrt{3} ight )$

$V = 42sqrt{3}$

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