Questão 12

IME 2016

Matemática

(IME - 2016/2017 - 1ª fase)

Sejam os pontos $A(0,0)$ , $B(-1,1)$ , $C(1,2)$ , $D(4,1)$ e $Eleft ( 3,frac{1}{2} ight )$ . A reta r passa por A e corta o lado CD, dividindo o pentágono ABCDE em dois polígonos de mesma área. Determine a soma das coordenadas do ponto de interseção da reta r com a reta que liga C e D.

Gabarito:

Resolução:

Temos que o ponto F está situado na reta CD, ou seja, ele é colinear a C e a D. Dessa forma, podemos afirmar que o coeficiente angular no ponto F é o mesmo que o da reta CD. Seja F o ponto (x,y).

$m =frac{1-2}{4-1} = -frac{1}{3}$

Utilizando as coordenadas do ponto F.

$frac{1-y}{4-x} = -frac{1}{3}$

$3- 3y = -4 + x$

$x = -3y + 7$

Vamos guardar essa informação.

A reta r divide o polígono ABCDE, em dois polígonos de áreas iguais: ABCF e FDEA.

Como sabemos as coordernadas de todos os pontos dos vértices desses dois polígonos, podemos usar o método da área de Gauss.

$A_{ABCF} = A_{FDEA}$

$egin{vmatrix} & \ a1 &a2 \ b1& b2\ c1&c2 \ x& y \ a1 &a2end{vmatrix}= egin{vmatrix} & \a1 &a2\ x & y \ d1 &d2 \ e1 & e2\ a1& a2 end{vmatrix}$

$egin{vmatrix} & \ 0 &0 \ -1& 1\ 1&2 \ -3y+7& y \ 0 &0end{vmatrix}= egin{vmatrix} & \0 &0\ -3y+7 & y \ 4 &1 \ 3 & frac{1}{2}\ 0& 0 end{vmatrix}$

$17 - 7y = 7y - 6$

$y = frac{23}{14}$

F(-3y+7, y)

$Fleft(-3frac{23}{14}+ 7, frac{23}{14} ight )$

Somando x e y.

$x + y = frac{26}{7}$

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