Questão 11

IME 2016

Matemática

(IME - 2016/2017)

Sejam uma progressão aritmética $(a_1,a_2,a_3,a_4,...)$ e uma progressão geométrica $(b_1,b_2, b_3,b_4,...)$ de termos inteiros, de razão $r$ e razão $q$ , respectivamente, onde $r$ e $q$ são inteiros positivos, com $q>2$ e $b_1>0$ . Sabe-se, também, que $a_1+b_2=3$ , $a_4+b_3=26$ . O valor de $b_1$ é:

Gabarito:

Resolução:

$left{egin{matrix} a_1+b_2=3\ a_4+b_3=26 end{matrix} ight. ightarrow left{egin{matrix} a_1+q.b_1=3\ a_1+3r+q^2.b_1=26 end{matrix} ight. ightarrow left{egin{matrix} -a_1-q.b_1=-3\ a_1+3r+q^2.b_1=26 end{matrix} ight.$

Somando as duas equações:

$3r+(q^2-q).b_1=23 ightarrow q.(q-1).b_1=23-3r$

Observe que:

A expressão $q.(q-1).b_1$ é necessariamente par, já que $q$ e $q-1$ são consecutivos. Isso implica que a expressão $23-3r$ também é par. Para que isso aconteça, $r$ deve ser ímpar

Vamos agora analisar as possibilidades com as restrições impostas pelo enunciado ( $q>2$ e $b_1>0$ ):

I) Supondo que $q=3$ :

$3.2.b_1=23-3r ightarrow b_1=frac{23-3r}{6}$ . Observe que a expressão $frac{23-3r}{6}$ não resulta um número inteiro, independentemente do valor que $r$ assuma ( $r$ inteiro positivo)

II) Supondo que $q=4$ :

$4.3.b_1=23-3r ightarrow b_1=frac{23-3r}{12}$ . Observe que a expressão $frac{23-3r}{12}$ também não resulta um número inteiro, independentemente do valor que $r$ assuma ( $r$ inteiro positivo)

III) Supondo que $q=5$ :

$5.4.b_1=23-3r ightarrow b_1=frac{23-3r}{20}$ . Observe que, para $r=1$ , a expressão resulta $b_1=1$

IV) Supondo que $q>5$ , chegamos em valores do denominador da expressão $frac{23-3r}{q(q-1)}$ que são maiores que o numerador, independentemente do valor de $r$ . Isso impede que a expressão assuma valores inteiros.

Portanto, temos apenas um valor possível para $b_1$ , que é encontrado quando $q=5$ . Logo $b_1=1$

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