Questão 10
IME 2016
(IME - 2016/2017 - 2ª fase)
Em um cone equilátero são inscritas duas esferas de raios e
, conforme a figura abaixo. Um plano secante ao cone é traçado de forma que este seja tangente às duas esferas. Determine em termos de
o maior segmento que une dois pontos da curva formada pela intersecção do referido plano com o cone.
Gabarito:
Resolução:
A figura formada por esse plano secante à essas duas esferas, será uma elipse. Sabemos que a maior reta que liga 2 pontos de uma elipse é o seu eixo maior. Como precisamos apenas da medida desse eixo, podemos reduzir esse problema a um problema de geometria plana:
Pela relação das retas tangentes e dos semi-perímetros, temos que:
assim provamos a equidade das duas retas destacadas na figura.
Podemos resolver por semelhança o valor dessa medida:
