Questão 1

IME 2016

Matemática

(IME - 2016/2017 - 2ª fase)

Seja M uma matriz real 2x2. Defina uma função f na qual cada elemento da matriz se desloca para a posição seguinte no sentido horário, ou seja, se $M=igl(egin{smallmatrix} a &b \ c& d end{smallmatrix}igr)$ implica que $f(M)=egin{pmatrix} c & a\ d & b end{pmatrix}$ . Encontre todas as matrizes simétricas 2x2 reais na qual $M^{2}=f(M).$

Gabarito:

Resolução:

Devemos encontrar todas as matrizes 2x2 simétricas M, em que $M^{2} = fleft(M ight )$ .

Lembrando que uma matriz simétrica é uma matriz com a propriedade: $M^{t} = M$ .

Essas matrizes M vão ser do tipo: $egin{pmatrix} a & b \ b & c end{pmatrix}$

Então temos que:

$egin{pmatrix} a & b \ b & c end{pmatrix}. egin{pmatrix} a & b \ b & c end{pmatrix} = egin{pmatrix} b &a \ c& b end{pmatrix}$

$egin{pmatrix} a^{2} + b^{2} & ab + bc \ ba +cb & b^{2} + c^{2} end{pmatrix} = egin{pmatrix} b &a \ c & b end{pmatrix}$

Resolvendo o sistema:

$left{egin{matrix} a^{2} + b^{2} = b\ ab+ bc = a\ ba + cb = c \ b^{2} + c^{2} = b end{matrix} ight.$

Igualando a primeira equação com a quarta:

$a^{2} + b^{2} = b^{2} + c^{2}$

$a = +- c$

Caso 1: a = c.

Substituindo na segunda equação:

$2ab = a$

$a = 0$ ou $b = frac{1}{2}$

Utilizando esses valores na primeira equação:

a = 0;

$b^{2} = b$

$b = 0;1$

Para esses dois valores teremos as matrizes:

$egin{pmatrix} 0 &0 \ 0& 0 end{pmatrix}$ e $egin{pmatrix} 0 &1\ 1& 0 end{pmatrix}$

Agora, b = $frac{1}{2}$ .

Substituindo na primeira equação.

$a^{2} + frac{1}{4} = frac{1}{2}$

$a = -frac{1}{2}; frac{1}{2}$

Para esses dois valores teremos as matrizes:

$egin{pmatrix} frac{1}{2} & frac{1}{2} \ frac{1}{2} & frac{1}{2} end{pmatrix}$ e $egin{pmatrix} -frac{1}{2} & frac{1}{2} \ frac{1}{2} & -frac{1}{2} end{pmatrix}$

Caso 2: a = -c.

Utilizando a segunda equação:

$ab - ab = a$

$a = 0$

O que nos leva ao mesmo caso anterior em que a = 0;

Questão 1

IME 2016

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