Questão 18

UNICAMP 2018

Matemática

(UNICAMP - 2018 - 2ª FASE) Sabendo que 𝑝 e 𝑞 são números reais, considere as matrizes.

$large A = egin{pmatrix} 1 & 0 & 1\ 1 & 2 & p\ 1 & p & 1 end{pmatrix} e B=egin{pmatrix} p\ 0\ q end{pmatrix}.$

a) Prove que para quaisquer 𝑝 e 𝑞 teremos 𝐵^𝑇𝐴𝐵 ≥ 0.

b) Determine os valores de 𝑝 e 𝑞 para os quais o sistema linear nas variáveis reais 𝑥, 𝑦 e 𝑧, $large Aegin{pmatrix} x\ y\ z end{pmatrix} = B$ , tem infinitas soluções.

Gabarito:

Resolução:

a) Efetuando o produto, $B^{t}AB=$

$egin{pmatrix} p& 0 &q end{pmatrix}$ $left (egin{matrix} 1 & 0&1 \ 1 & 2& p\ 1 &p &1 end{matrix} ight )$ $egin{pmatrix} p\ 0\ q end{pmatrix}$ $=(p+q)p+(p+q)q=(p+q)(p+q)=(p+q)^{2}$

Como p+q é um número real, $(p+q)^{2}geq 0$ . Portanto, $B^{t}ABgeq 0$ para quaisquer númeeros reais p e q.

b) Para que esse sistema tenha infinitas soluções é necessário que a matriz A seja singular, ou seja, tenha determinante nulo. O determinante de A é dado por $det(a)=1cdot2cdot1+0cdot pcdot1+1cdot p cdot1-1 cdot2cdot1-0cdot1cdot1-1cdot p cdot p=2+0+p-2-0-p^{2}=p(p-1)$ . Logo, devemos ter p=0 ou p=1. Para p=0 temos o sistema linear,

$egin{cases} x;;;+& z=0 \ x ;;;+& 2y x=0 \ x;;;+ & z x= q end{cases}$

Observando a primeira e terceira linhas, para que esse sistema admita solução devemos ter q=0. Para p=1 temos o sistema linear,

$left{egin{matrix} x & +z& & =1\ x& +2y& +z&=0 \ x &+y & +z & =q end{matrix} ight.$

Da primeira linha, temos z=1-x. Substituindo essa relação na segunda e terceiras linhas, obtemos as equações $2y+1=0$ e $y+1=q$ . Para que essas equações sejam consistentes, devemos ter $q=frac{1}{2}$ . Concluíndo, para que o sistema tenha infinitas soluções devemos ter $p=q=0$ ou $p=1$ e $q=frac{1}{2}$

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