Questão 25

UNICAMP 2018

Matemática

(UNICAMP - 2018 - 1ª FASE) Sejam $a$ e $b$ números reais tais que a matriz $A=egin{vmatrix} 1 &2 \ 0&1 end{vmatrix}$ satisfaz a equação $A^2=aA+bI$ , em que $I$ é a matriz identidade de ordem 2. Logo, o produto $ab$ é igual a

-2

-1

Gabarito:

-2

Resolução:

Substituindo as respectivas matrizes na equação $A^2=aA+bI$ :

$egin{vmatrix} 1 &2 \ 0&1 end{vmatrix} cdot egin{vmatrix} 1 &2 \ 0&1 end{vmatrix} = aegin{vmatrix} 1 &2 \ 0&1 end{vmatrix} +b egin{vmatrix} 1 &0 \ 0&1 end{vmatrix}$

efetuando os produtos:

$egin{vmatrix} 1 &4 \ 0&1 end{vmatrix} = egin{vmatrix} a &2a \ 0&a end{vmatrix} + egin{vmatrix} b &0 \ 0&b end{vmatrix}$

efetuando as somas:

$egin{vmatrix} 1 &4 \ 0&1 end{vmatrix} = egin{vmatrix} a+b &2a \ 0&a+b end{vmatrix}$

Dessa igualdade retiramos as seguintes relações:

$a+b=1$

$2a=4$

logo,

$a=2$

$b=-1$

Logo o produto de a por b é -2

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