Questão 17

UNICAMP 2018

Matemática

(UNICAMP - 2018 - 2ª FASE) A figura abaixo exibe um triângulo com lados de comprimentos 𝑎, 𝑏 e 𝑐 e ângulos internos 𝜃, 2𝜃 e 𝛽.

a) Supondo que o triângulo seja isósceles, determine todos os valores possíveis para o ângulo 𝜃.

b) Prove que, se 𝑐 = 2𝑎, então 𝛽 = 90º.

Gabarito:

Resolução:

a) A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º e, portanto, $heta+2 heta+eta=3 heta+eta=180^{o}$ . Se o triângulo for isósceles, então $eta= heta$ ou $eta=2 heta$ . Assim, $4 heta=180^{o}$ ou $5 heta=180^{o}$ , ou seja, $heta=45^{o}$ ou $heta=36^{o}$

b) Pela Lei dos Senos, temos $frac{sen heta}{a}=frac{sen2 heta}{b}$ . Considerando o fato de que $sen2 heta=2sen heta ;cos heta$ e $c=2a$ , temos $cos heta = frac{b}{c}$ . Aplicando a Lei dos Cossenos ao lado de comprimento $a,a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc cdot cos heta$ obtemos $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc cdot frac{b}{c}= b^{2}+c^{2}-2b^{2}=c^{2}-b^{2}$ , ou seja, $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ . Logo, o triângulo é retângulo com hipotenusa de comprimento c e, portanto, $eta = 90^{o}$

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