Questão 14

UNICAMP 2018

Matemática

(UNICAMP - 2018 - 2ª FASE) Sendo 𝑐 um número real, considere a função afim 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 𝑐, definida para todo número real 𝑥.

a) Encontre todas as soluções da equação [𝑓(𝑥)]³ = 𝑓(𝑥³), para 𝑐 = 1.

b) Determine todos os valores de 𝑐 para os quais a função 𝑔(𝑥) = log(𝑥f(𝑥) + 𝑐) esteja definida para todo número real 𝑥.

Gabarito:

Resolução:

a) Para c = 1 temos $f(x)= 2x+1$ ; Logo, a equação $[f(x)]^{3}=f(x^{3})$ se torna $[2x+1]^{3}=2x^{3}+1$ . Desenvolvendo-a, obtemos $8x^{3}+12x^{2}+6x+1=2x+1=2x^{3}+1$ , ou seja, $6x^{3}+12x^{2}+6x=0$ , ou ainda, $6x(x+1)^{2}=0$ . Portanto, as soluções são x=0 ou x=-1.

b)Temos $g(x)=log(xf(x)+c)=log(x(2x+c)+c)=log(2x^{2}+cx+c)$ . Para que a função g esteja definida para todo número real x, devemos ter $2x^{2}+xc+c>0$ para todo número realx. Como o gráfico da função quadrática $q(x)=2x^{2}+xc+c$ é uma parábola com a concavidade voltada para cima, para que q(x seja sempre positiva, a equação $q(x)=0$ não pode ter solução, ou seja, o discriminante deverá ser negativo.

Assim, $Delta = c^{2}-4cdot2cdot c = c^{2}-8c<0$ implica que $0 < c <8$

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