Questão 28

UNICAMP 2018

Matemática

(UNICAMP - 2018 - 1ª FASE) Sejam p(x) e q(x) polinômios com coeficientes reais. Dividindo-se p(x) por q(x) obtêm-se quociente e resto iguais a x² + 1. Nessas condições, é correto afirmar que

o grau de p(x) é menor que 5.

o grau de q(x) é menor que 3.

p(x) tem raízes complexas.

q(x) tem raízes reais.

Gabarito:

p(x) tem raízes complexas.

Resolução:

Se multiplicarmos o divisor pelo quociente e somarmos com o resto adquirimos o dividendo:

$p(x)= q(x)cdot (x^{2}+1)+(x^{2}+1)$

Desta relação nós não conseguimos afirmar o grau de p(x) nem de q(x)

porém sabemos que o grau de p(x) é maior que 3 , por que ele consegue ser dividido pelo quociente, mas não sabemos se é menor que 5

Colocando em evidência:

$p(x)= (x^{2}+1)(q(x)+1)$

para que o p(x) tenha raíz, a equação acima tem que ser =0

$p(x)= (x^{2}+1)(q(x)+1)=0$

para que isso seja verdade um dos termos tem que ser 0

$x^{2}+1 =0$

$x^{2} =-1$

$x =^{+}_{-}sqrt{-1}$

$x =^{+}_{-}i$

logo a resposta tem raíz complexa.

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