Questão 29

UNICAMP 2018

Matemática

(UNICAMP - 2018 - 1ª FASE) Sejam a e b números reais não nulos. Se o número complexo z = a + bi é uma raiz da equação quadrática x² + bx + a = 0, então

$left | z ight |=frac{1}{sqrt{3}}$

$left | z ight |=frac{1}{sqrt{5}}$

$left | z ight |=sqrt{3}$

$left | z ight |=sqrt{5}$

Gabarito:

$left | z ight |=frac{1}{sqrt{5}}$

Resolução:

Para resolver precisamos lembrar de algumas relações:

1. Se $z=a+bi$ é solução, seu conjugado $ar{z}=a-bi$ também é

2. A soma das raízes de é $ar{z}+z=frac{-b}{1}$

3. O produto das raízes é $ar{z}cdot z=frac{+a}{1}$

4. O produto entre um número complexo e o seu conjuga é $ar{z}cdot z=left |z ight |^{2}$

Entre as relações 3 e 4 retiramos a relação 5:

5. $left |z ight |^{2}=a$

Substituindo os valores dos números z e seu conjugado em 2, temos:

$a+bi+a-bi=-b$

logo,

$2a=-b$

desenhando o veetor no gráfico e calculando o seu módulo:

para o calculo do módulo usaremos pitágoras:

$left |z ight |^{2}=a^{2}+(2a)^{2}$

$left |z ight |^{2}=5a^{2}$

substituindo a relação 5 na equação:

$a=5a^{2}$

$0=5a^{2}-a$ $0=a(5a-1 )$

$a=frac{1}{5}$

logo,

$left |z ight |^{2}=a=frac{1}{5}$

$left |z ight |=frac{1}{sqrt{5}}$

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