Questão 27

UNICAMP 2018

Matemática

(UNICAMP - 2018 - 1ª FASE) No plano cartesiano, sejam C a circunferência de centro na origem e raio r > 0 e s a reta de equação x + 3y = 10. A reta s intercepta a circunferência C em dois pontos distintos se e somente se

r > 2.

r > $sqrt{5}$ .

r > 3.

r > $sqrt{10}$ .

Gabarito:

r > $sqrt{10}$ .

Resolução:

Para descobrirmos os pontos da reta que cruzam a circunferencia basta que montemos um sistema linear contendo ambas as equações, repare que utilizaremos a equação geral de uma circunferência de raio r com centro na origem.

$egin{cases} x^{2}+y^{2}=r^{2} \ x+3y=10& end{cases}$

Isolando x e substituindo:

$x=10-3y$

$(10-3y)^{2}+y^{2}=r^{2}$

expandindo o produto notável:

$100-60y+9y^{2}+y^{2}=r^{2}$

obtemos então a equação de segundo grau:

$10y^{2}-60y+(100-r^{2})=0$

Para que hajam dois pontos cruzando a circunferência, precisamos que essa equação de segundo grau tenha duas soluções, ou seja, precisamos que delta seja maior do que zero, $Delta >0$ :

$Delta=(-60)^{2}-4 cdot 10 cdot (100-r^{2})>0$

$3600-40 cdot (100-r^{2})>0$

$90-(100-r^{2})>0$

$-10+r^{2}>0$

$r=^{+}_{-} sqrt{10}$ (lembrem-se da relação $x^{2}=a Rightarrow x=^{+}_{-} sqrt{a}$ )

Como o exercício afirma que $r>0$ então a resposta é $r>sqrt{10}$

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