Questão 24

UNESP 2014

Matemática

(UNESP - 2014/2 - 2 FASE) Determine os zeros do polinômio p(x) = x³ + 8 e identifique a que conjunto numérico eles pertencem.

Gabarito:

Resolução:

Para determinar os zeros do polinômio p(x) = x³ + 8 , podemos igualar o polinômio a zero e resolver para x:

p(x) = x³ + 8

$\ 0 = x^{3} + 8 \ \ x^{3} = -8$

Agora, podemos encontrar os zeros do polinômio resolvendo esta equação. Para isso, podemos utilizar o fato de que:

$(-2) ^{3} = -8$

Portanto, -2 é uma das raízes do polinômio. No entanto, como estamos lidando com um polinômio cúbico, sabemos que ele tem três raízes, uma das quais já encontramos (x=−2). As outras duas raízes são números complexos conjugados, então:

$x^{3} + 8 = (x+2)(x^{2} -2x + 4)$

$x = frac{2pm sqrt{4-4.1.4}}{2} = frac{2pm sqrt{-12}}{2} = frac{2pm isqrt{4.3}}{2} = frac{2pm 2isqrt{3}}{2} = 1pm isqrt{3}$

Portanto, a solução é:

${-2, 1 + 2isqrt{3}, 1 -2isqrt{3}}$

Veja que a primeira raiz é real e outras duas são números complexos.

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