Questão 85

UNESP 2014

Matemática

(UNESP - 2014 - 1ª FASE) O conjunto solução (S) para a inequação $2cdot cos^{2}x+cos(2x)>2$ , em que $0<x<pi$ , é dado por:

$S=x,epsilon,(0,pi)|0<x<frac{pi}{6},ou,frac{5pi}{6}<x<pi$ .

$S=x,epsilon,(0,pi)|frac{pi}{3}<x<frac{2pi}{3}$ .

$S=x,epsilon,(0,pi)|0<x<frac{pi}{3},ou,frac{2pi}{3}<x<pi$ .

$S=x,epsilon,(0,pi)|frac{pi}{6}<x<frac{5pi}{6}$ .

$S={x,epsilon,(0,pi)}$ .

Gabarito:

$S=x,epsilon,(0,pi)|0<x<frac{pi}{6},ou,frac{5pi}{6}<x<pi$ .

Resolução:

Substituindo as equações abaixo na inequação dada:

$cos(2x) = cos^{2} (x) - sen^{2} (x) (I)$

$sen^{2} (x) = 1 - cos^{2}(x) (II)$ 4

Temos:

$\ 2 cos^{2} (x) + cos(2x) > 2 \ \ 2 cos^{2} (x) + cos^{2}(x) - sen^{2} (x) > 2 \ \ 4 cos^{2}(x) > 3 \ \ cos^{2} > frac{3}{4} \ \ |cos^{2}(x)| > frac{sqrt{3}}{2} \ \ cos(x) < frac{- sqrt{3}}{2} ou cos(x ) > frac{sqrt{3}}{2}$

Portanto, a solução é dada por:

$S = [x E mathbb{R} / 0 < x < frac{pi }{6} ou frac{5 pi}{6}< z < pi]$

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