Questão 76438

MACKENZIE 2017

Matemática

(Mackenzie 2017) Se f e g são funções reais definidas por $f(x)=sqrt{x} e g(x)=frac{x}{2x^2-5x+2}$ , então o domínio da função composta f º g é o conjunto

${x in mathbb{R}|0leq xleq frac{1}{2} vee xgeq 2}$

${x in mathbb{R}|0leq x< frac{1}{2} vee x> 2}$

${x in mathbb{R}|0< x< frac{1}{2} vee x> 2}$

${x in mathbb{R}|x< frac{1}{2} vee x> 2}$

${x in mathbb{R}|xleq frac{1}{2} vee xgeq 2}$

Gabarito:

${x in mathbb{R}|0leq x< frac{1}{2} vee x> 2}$

Resolução:

Encontrando $fcirc g$ temos $f(g(x))$ corresponde essa função.

Temos então:

$sqrt{frac{x}{2x^2-5x+2}}$ como nossa função composta.

Vamos analisar as condições de existência. Sabemos que uma fração não pode ter 0 no denominador e que uma raiz quadrada de índice par não pode ter um elemento negativo. Assim vamos tirar as raízes da equação de segundo grau para conferir a primeira condição.

$\frac{5pm sqrt{25-4cdot2cdot2}}{2}=frac{5pm 3}{2}\\ x_1=2\\x_2=frac{1}{2}$

Nas raízes, a função não irá existir. Agora quanto ao sinal:

Como a equação de segundo grau tem um coeficiente a positivo, ela forma uma parábola de concavidade para cima, onde o espaço entre as raízes é negativo, logo $x< frac{1}{2} e x> 2$ .

Analisando o numerador, vemos que ele vai ser negativo para qualquer número menor que 0, logo $xgeq 0$ . Assim temos que o domínio pode ser expresso como: $xepsilon R/0leq x< frac{1}{2} e x> 2$

Letra B

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