Questão 66

ITA 2003

Matemática

(ITA - 2003 - 1a fase)

Dividindo-se o polinômio P(x) = x⁵ + ax⁴ + bx² + cx + 1 por (x - 1), obtém-se resto igual a 2. Dividindo-se P(x) por (x + 1), obtém-se resto igual a 3. Sabendo que P(x) é divisível por (x - 2), tem-se que o valor de (ab)/c é igual a:

-6

-4

Gabarito:

Resolução:

1) Como P(x) dividido por (x - 1), obtém-se resto igual a 2, temos que P(1)=2

1.1) Logo,

2 = 1+a+b+c+1 --> a+b+c=0

2) Como P(x) dividido por (x + 1), obtém-se resto igual a 3, temos que P(-1)=3

2.2) Logo,

3 = -1+a+b-c+1 --> a+b-c=3

3) Como P(x) é divisível por (x - 2), temos que P(2)=0

3.3) Logo,

0=32+16a+4b+2c+1 -> 16a+4b+2c=-33

4) Com isso, temos o sistema:

$left{egin{matrix}a+b+c=0 \ a+b-c=3 \ 16a+4b+2c=-33 end{matrix} ight.$

5) Subtraindo a primeira equação da segunda:

$2c=-3 ightarrow c=-frac{3}{2}$

6) Com isso,

$left{egin{matrix}a+b=frac{3}{2} \ 16a+4b=-30 end{matrix} ight.$

7) Desenvolvendo:

$left{egin{matrix}4a+4b=6 \ 16a+4b=-30 end{matrix} ight.$

8) Subtraindo a primeira equação da segunda:

$12a=-36 ightarrow a=-3$

Logo, $b=frac{9}{2}$

9) Com isso, o valor de (ab)/c é igual a:

$frac{-3 cdotfrac{9}{2}}{-frac{3}{2}}=9$

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