Questão 64

ITA 2003

Matemática

(ITA - 2003 - 1a fase)

Considere uma função f : → não-constante e tal que f(x + y) = f(x) f(y), ∀x,y ∈ .

Das afirmações:

I. f(x) > 0, ∀x ∈ .

II. f(nx) = [f(x)]ⁿ, ∀x ∈ , ∀n ∈ *.

III. f é par.

é (são) verdadeira(s):

apenas I e II.

apenas lI e llI.

apenas I e III.

todas.

nenhuma.

Gabarito:

apenas I e II.

Resolução:

Como $f(x+y)=f(x)*f(y)$ :

(1) Fazendo $y=x$ , temos $f(x+x)=f(x)*f(x) ightarrow f(2x)=[f(x)]^{2}$ . Logo, para qualquer valor de $x$ , temos que $f(2x)geq 0$ . Podemos dizer também que $f(x)geq 0$ , para qualquer valor de $x$ .

Para que a afirmativa seja verdadeira, falta provar que não existe valor u no domínio para o qual f(u) = 0. Suponhamos, pois, a existência de tal real u. Teríamos, então, para todo x do domínio, que $f(x)=f(u+(x-u))=f(u).f(x-u)=0$ . Então teríamos que $f(x) = 0$ para todo x real, o que contraria a condição do enunciado, segundo a qual a função não é constante.

Logo, afirmativa verdadeira.

(2) Faremos uma demonstração usando o Princípio da Indução Finita (PIF):

Já sabemos que para $n=2$ a relação é válida.
Vamos supor que é válida também para $k<n$ . Sendo $y=k*x$ , temos, por hipótese, que $f(y)=f(k*x)=[f(x)]^{k}$ . Substituindo isso na relação $f(x+y)=f(x)*f(y)$ , temos: $f(x+k*x)=f(x)*f(x)^{k} ightarrow f((k+1)*x)=[f(x)]^{k+1}$ .
Logo, a relação $f(n*x)=[f(x)]^{n}$ vale para qualquer $n;epsilon ;mathbb{N}$

Verdadeiro.

(3) Fazendo $x=y=0$ , temos $f(0+0)=f(0)*f(0) ightarrow f(0)=[f(0)]^{2} herefore f(0)=0 ;;;ou ;;;f(0)=1$

Se $f(0)=0$ , temos, tomando y=0: $f(x+0)=f(x)*f(0) ightarrow f(x)=f(x)*0 ightarrow f(x)=0$ , para qualquer $x;epsilon ;mathbb{N}$ . ABSURDO.

Logo, $f(0)=1$ .

Agora, analisando a paridade da função, vamos tomar $y=-x$ :

$f(x+y)=f(x)*f(y) ightarrow f(x-x)=f(x)*f(-x) ightarrow f(0)=f(x)*f(-x) herefore$ $f(-x)=frac{1}{f(x)}$

Logo, a função não é par nem ímpar.

Falso.

Então, o gabarito é letra A.

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