Questão 62

ITA 2003

Matemática

(ITA - 2003)

O valor de y² - xz para o qual os números _,x, y, z e sen 75°, nesta ordem, formam uma progressão aritmética, é:

Gabarito:

Resolução:

Sabemos que $75 = 30 + 35$ , assim, calculemos o seno de 75º por seno da soma de dois arcos:

$sen(75)=sen(30+45)=sen(30)cdot cos(45) + sen(45) cdot cos(30)= frac{sqrt{6}+ sqrt{2}}{4}$

Sabemos que sen(15º) = cos(75º)

Calculando

$sen(15)=sen(45)cdot cos(30) - sen(30) cdot cos(45)$

$frac{sqrt{2}}{2}cdot frac{sqrt{3}}{2} - frac{1}{2} cdot frac{sqrt{2}}{2}=frac{(sqrt{6}-sqrt{2})}{4}$

Agora podemos trabalhar com a PA:

$sin15^o, extrm{x, y, z},sin75^o:; extrm{PA}$

$\a_n=a_1+(n-1)cdot r\\sin75^o=sin 15^o+(5-1)cdot r;;;;Rightarrow ;;frac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4}-frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4}=4cdot r;Rightarrow \\\mathbf{r=frac{sqrt{2}}{8}}$

Portanto,

$\y^2-xz=(a_1+2r)^2-(a_1+r)cdot (a_1+3r)=\=a_1^2+4r^2+4cdot rcdot a_1-a_1^2-4cdot rcdot a_1-3r^2=r^2=frac{1}{32} = 2^{-5}$

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