Questão 25

ITA 2003

Matemática

(ITA - 2003 - 2 FASE) Sejam $a$ , $b$ , $c$ e $d$ constantes reais. Sabendo que a divisão de $P_1(x) = x^4 + ax^2 + b$ por $P_2(x) = x^2 + 2x + 4$ é exata, e que a divisão de $P_3(x) = x^3 + cx^2+ dx - 3$ por $P_4(x) = x^2 - x + 2$ tem resto igual a – 5, determine o valor de $a + b + c + d$ .

Gabarito:

Resolução:

1) Se a divisão de $P_1$ por $P_2$ é exata:

$P_1=P_2 cdot q$

$(x^4+ax^2+b)=(x^2+2x+4) cdot (x^2+mx+n)$

$(x^4+ax^2+b)=x^4+mx^3+nx^2+2x^3+2mx^2+2nx+4x^2+4mx+4n$

$ax^2+b=(m+2)x^3+(n+2m+4)x^2+(2n+4m)x+4n$

Pela igualdade dos polinômios:

i) $m+2=0$ → $m=-2$

ii) $a=n+2m+4$ → $a=n$

iii) $2n+4m=0$ → $n=4=a$

iv) $b=4n$ → $b=16$

2) Se a divisão de $P_3$ por $P_4$ tem resto -5:

$P_3=P_4 cdot g-5$

$(x^3+cx^2+dx-3)=(x^2-x+2) cdot (x+p)-5$

$x^3+cx^2+dx-3=x^3+px^2-x^2-px+2x+2p-5$

$cx^2+dx-3=(p-1)x^2+(2-p)x+2p-5$

Pela igualdade dos polinômios:

i) $c=p-1$

ii) $d=2-p$

iii) $-3=2p-5$

$p=1$ → $c=0$ e $d=1$

3) $a+b+c+d=4+16+0+1=21$

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