Questão 22

Gabarito:

Resolução:

Vamos primeiramente supor que z é igual a soma de a e b.i, onde a é a parte real de z e b é a parte imaginária.

Vamos trabalhar com o numerador de w:

, que é um número real e até aí tudo bem. Esta informação só nos serve para determinar que o denominador precisa ser real, pois w é real.

Agora vamos trabalhar com o denominador de w. Veja que como se trata de uma raíz quadrada e dado que w é um número real, então dentro da raiz nós devemos ter, necessariamente, valores maiores que zero, ou seja, positivo, para que o denominador seja real. E zero, por que não pode ser? Porque números com 0 no denominador são indeterminados.

Então temos:

.

Lembre-se agora que módulos de números complexos são distâncias do número complexo à origem do plano. Então, os números |z - 1| e |z + 1| são distâncias dos números z - 1 e z + 1 à origem do plano, respectivamente. O que essa equação está nos informando é "a soma das distâncias de dois pontos distintos no plano dos complexos à origem desse plano é uma tal que é sempre maior que 3.". Isso é o mesmo que falar "o conjunto solução dessa inequação corresponde à todo espaço do plano complexo que não é o espaço definido por |z - 1| + |z + 1| = 3 e nem o espaço interior a |z - 1| + |z + 1| = 3, ou seja, |z - 1| + |z + 1| < 3."

Mas quem é o espaço definido no plano por |z - 1| + |z + 1| = 3? z - 1 é um número complexo z menos o número real 1. Então, |z - 1| é a distância do ponto z ao ponto 1 no plano dos complexos. E, da mesma forma para z + 1, |z + 1| é a distância do ponto z ao ponto -1. Logo, estamos dizendo que |z - 1| + |z + 1| = 3 significa "a distância de um certo ponto z no plano complexo ao ponto -1 mais a distância desse mesmo ponto z no plano complexo ao ponto 1 é sempre igual a 3." O que isto significa? Não é isso a definição de uma elipse? Pense no ponto -1 e ponto 1 como sendo dois focos distintos de uma elipse no plano dos complexos e z é um ponto no perímetro dessa elipse. A distância de um ponto da elipse a um foco mais a distância do mesmo ponto da elipse ao outro foco é uma constante igual ao eixo maior dessa elipse. Logo, a interpretação geométrica de |z - 1| + |z + 1| = 3 é uma elipse.

Daí, a solução para  é todo o espaço exterior à elipse |z - 1| + |z + 1| = 3.

Essa elipse tem como eixo maior o número 3, logo, 2a = 3 => a = 3/2. A distância dos focos é 2, já que um foco é -1 e o outro é 1, logo o valor de c é 1. Daí, o semieixo menor é fácil de descobrir:

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A interpretação geométrica da solução para z é todo o espaço exterior ao espaço da elipse desenhada: