Questão 34250

ITA 2003

Matemática

Seja z pertencente aos complexos. Calcule a soma das raízes z³ + z² - |z|² + 2z = 0.

-2

-7

Gabarito:

-2

Resolução:

1) Lembre-se que $|z|^2 = z cdot z^*$

2) Logo,

$z^3 + z^2 - z cdot z^* + 2z = 0$

3) Fatorando:

$(z^2 + z - z^* + 2) cdot z = 0$

4) Logo,

$z = 0$

5) Ou $z^2 + z - z^* + 2=0$

6) Vamos considerar que $z=a + bi$

$left(a^2-b^2 ight)+2iab+a + bi-(a - bi)+2=0$

7) Ordenando:

$left(a^2-b^2 ight)+2iab+a + bi-a + bi+2=0$

$(a^2-b^2+2)+i(2ab+ 2b) =0$

8) Com isso, temos o sistema:

$left{egin{matrix} a^2-b^2+2=0 \ 2ab+ 2b =0 end{matrix} ight.$

9) Desenvolvendo a segunda equação:

$2b (a+ 1) =0 Rightarrow b=0 ; ou ; a=-1$

10) Aplicando a=-1 na primeira equação:

$1-b^2+2=0 ightarrow b=pm sqrt{3}$

Logo,

$\ z_1=-1+ sqrt{3} \ z_2=-1- sqrt{3}$

11) Aplicando b=0 na primeira equação:

$\ a^2=-2 \ a=pm sqrt{-2}$

Porém como a é um número real, não é válido.

12) Com isso, as raízes da equação são:

$\ z_1=-1+ sqrt{3} \ z_2=-1- sqrt{3} \z_3=0$

13) Somando todas as raízes:

$-1+ sqrt{3}-1- sqrt{3} +0=oxed{-2}$

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