Questão 36826

IME 2005

Matemática

[IME - 2005/2006 - 2a fase]Considere um tetraedro regular de arestas de comprimento a e uma esfera de raio R tangente a todas as arestas do tetraedro. Em função de a, calcule

a) o volume total da esfera;

b) o volume da parte da esfera situada no interior do tetraedro.

Gabarito:

Resolução:

A figura fica assim:

A esfera é tangente às arestas do tetraedro regular.

O volume total da esfera é dado pela equação $V_{esfera}=frac{4}{3}cdot pi R^3$ , então precisamos descobrir o valor do raio da esfera.

A figura a seguir é uma visão lateral da figura acima:

Os triângulos AOH e AOP são iguais, pois possuem um lado em comum, outro lado de comprimento R e ângulos retos iguais. Daí, AP = AH, sendo H o ponto de intersecção da altura do tetraedro que parte do vértice V e chega à base ABC.

Como sabemos, a fórmula para a altura de um tetraedro regular em termos do comprimento de suas arestas é $VH = h = frac{asqrt{6}}{3}$ . Então, podemos descobrir o valor de AH por Pitágoras:

$AH^2+VH^2=AV^2Rightarrow AH^2+h^2=a^2Rightarrow AH^2=a^2-a^2cdotfrac{6}{9}=frac{a^2}{3}Rightarrow$

$Rightarrow AH=frac{asqrt{3}}{3}$

Agora observe o triângulo OPV (o ponto O é o centro da esfera). O lado OV é igual a altura menos o raio (segmento OH). O lado PV é igual ao lado AV do tetraedro menos o lado AP que é igual a AH, ou seja, $AP=frac{asqrt{3}}{3}$ .

Então, os lados do triângulo OPV ficam:

$R$ , $a-AH=a-frac{asqrt{3}}{3}=frac{a}{3}cdotleft(3-sqrt{3} ight )$ e $OV=HV-HO=h-R=frac{asqrt{6}}{3}-R$ .

Fazendo Pitágoras:

$left(frac{asqrt{6}}{3}-R ight )^2=frac{6a^2}{9}-2cdot frac{asqrt{6}}{3}cdot R+R^2=left(R^2 ight )+left(frac{a}{3}left(3-sqrt{3} ight ) ight )^2=R^2+frac{a^2}{9}left(3-sqrt{3} ight )^2Rightarrow$