Questão 35245

IME 2005

Matemática

(IME - 2005/2006)Sejam a, b e c as raízes do polinômios p(x) = x³ + rx - t, em que r e t são números não nulos.

Determine o valor de a³ + b³ + c³ em função de r e t.
Demonstre que Sⁿ⁺¹ + rS^n-1 - tS^n-2 = 0 para todo número natural n maior que ou igual a 2, em que S^k = a^k + b^k + c^k, para qualquer número natural k.

Gabarito:

Resolução:

Como a, b e c são raízes do polinômio podemos escrever:

$large egin{cases} a^3+ra-t=0\ b^3+rb-t=0\ c^3+rc-t=0 end{cases}$

mas lembrando das relações de Girard, temos que a+b+c=0. Somando as equações acima:

$large egin{matrix} &(a^3+b^3+c^3)+r(a+b+c)-3t=0\ Rightarrow & a^3+b^3+c^3 -3t=0 \ Rightarrow & a^3+b^3+c^3 =3t end{matrix}$

Tome o polinômio p e multiplique-o por $x^{n-2}$ , assim teremos:

$large x^{n-2}cdot p(x)=x^{n+1}+rx^{n-1}-tx^{n-2}$

como no item anterior usamos que a, b e c são raízes de p:

$large egin{cases} a^{n+1}+ra^{n-1}-ta^{n-2}=a^{n-2}cdot p(a)=0\ b^{n+1}+rb^{n-1}-tb^{n-2}=b^{n-2}cdot p(b)=0\ c^{n+1}+rc^{n-1}-tc^{n-2}=c^{n-2}cdot p(c)=0 end{cases}$

somando essas equações:

$(a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1})+r(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1})-t(a^{n-2}+b^{n-2}+c^{n-2})=0$

usando a notação do enunciado:

$S^{n+1}+rS^{n-1}-tS^{n-2}=0$

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