Questão 33990

IME 2005

Matemática

(IME - 2005) Resolva a equação:

$2sen11x+cos3x+sqrt{3}sen3x=0$

$left{ -frac{pi}{84}pmfrac{kpi}{7},,,kinmathbb{Z} ight }$

$left{ -frac{pi}{84}+frac{kpi}{7},,,kinmathbb{Z} ight }$

$left{ frac{pi}{84}+frac{kpi}{7},,,kinmathbb{Z} ight }cupleft{ frac{5pi}{84}-frac{kpi}{4},,,kinmathbb{Z} ight }$

$left{ -frac{pi}{84}+frac{kpi}{7},,,kinmathbb{Z} ight }cupleft{ -frac{5pi}{84}pmfrac{kpi}{4},,,kinmathbb{Z} ight }$

$left{ -frac{pi}{84}+frac{kpi}{7},,,kinmathbb{Z} ight }cupleft{ -frac{5pi}{48}-frac{kpi}{4},,,kinmathbb{Z} ight }$

Gabarito:

$left{ -frac{pi}{84}+frac{kpi}{7},,,kinmathbb{Z} ight }cupleft{ -frac{5pi}{48}-frac{kpi}{4},,,kinmathbb{Z} ight }$

Resolução:

$2sen11x+cos3x+sqrt{3}sen3x=0$

1) Colocando o 2 em evidência:

$2sen11x+2(frac{1}{2} cdot cos3x+frac{sqrt{3}}{2} cdot sen3x)=0$

2) Simplificando:

$sen11x+frac{1}{2} cdot cos3x+frac{sqrt{3}}{2} cdot sen3x=0$

3) $Como ;frac{1}{2} =sen frac{pi }{6} ; e ; frac{sqrt{3}}{2} = cos frac{pi }{6}$

$sen11x+sen frac{pi }{6} cdot cos3x+cos frac{pi }{6} cdot sen3x=0$

4) Como $sen(a + b) = sena cdot cosb + senb cdot cosa$

$sen11x+ sen (3x+frac{pi}{6})=0$

$sen (3x+frac{pi}{6})=-sen11x$

5) Como a função seno é uma função ímpar: sen(-x) = -sen(x):

-sen (11x) = sen (-11x)

$sen (3x+frac{pi}{6})=sen(-11x)$

6) Com isso,

$\ 3x+frac{pi}{6}=-11x + 2kpi ; ou ; 3x+frac{pi}{6}=pi +11x + 2kpi \ \ oxed{x = -frac{pi}{84}+frac{kpi}{7}} ; ou ; oxed{x = -frac{5pi}{48}-frac{kpi}{4}}$

7) Resposta:

$left{ -frac{pi}{84}+frac{kpi}{7},,,kinmathbb{Z} ight }cupleft{ -frac{5pi}{48}-frac{kpi}{4},,,kinmathbb{Z} ight }$

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