Questão 34272

IME 2005

Matemática

(IME - 2004/2005 - 1ª FASE)
Sejam as somas $S_0$ e $S_1$ definidas por:

$S_0=C_n^0+C_n^3+C_n^6+C_n^9+...+C_n^{3cdot left lfloor n/3 ight floor}$

$S_1=C_n^1+C_n^4+C_n^7+C_n^{10}+...+C_n^{3cdot left lfloor left(n-1 ight )/3 ight floor+1}$

Calcule o valor de $S_0$ e $S_1$ em função de n, sabendo que $left lfloor r ight floor$ representa o maior inteiro menor ou igual a r.

$S_0=frac{2cdot cosfrac{npi}{3}+2^n}{3}$ e $S_1=frac{-cosfrac{npi}{3}+2^n+sqrt{3}cdot senfrac{npi}{3}}{3}$ . Alternativa única - Questão dissertativa.

Nem ideia.

Gabarito:

$S_0=frac{2cdot cosfrac{npi}{3}+2^n}{3}$ e $S_1=frac{-cosfrac{npi}{3}+2^n+sqrt{3}cdot senfrac{npi}{3}}{3}$ . Alternativa única - Questão dissertativa.

Resolução:

Resolução vinda do Livro do Caio dos Santos Guimarães - Matemática em nível IME/ITA Volume 1: Números Complexos e Polinômios

1) Antes de começarmos, vamos definir duas outras somas para auxilar o raciocínio (o porquê disso será compreendido mais a frente na resolução):

$egin{array}{l}{S_{2}=C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+C_{n}^{5}+ldots=2^{n}-S_{0}} \ {S_{3}=C_{n}^{2}+C_{n}^{5}+C_{n}^{8}+C_{n}^{11}+ldots=2^{n}-S_{0}-S_{1}}end{array}$

2) Vamos desenvolver o binômio de Newton sugerido:

$left(1+operatorname{cis} frac{2 pi}{3} ight)^{n}=C_{n}^{0} cdotleft(operatorname{cis} frac{2 pi}{3} ight)^{0}+C_{n}^{1} cdotleft(operatorname{cis} frac{2 pi}{3} ight)^{1}+ldots+C_{n}^{n} cdotleft(operatorname{cis} frac{2 pi}{3} ight)^{n}=$

$=C_{n}^{0}+C_{n}^{1} cdotleft(operatorname{cis} frac{2 pi}{3} ight)+C_{n}^{2} cdotleft(operatorname{cis} frac{4 pi}{3} ight)+ldots+C_{n}^{n} cdotleft(operatorname{cis} frac{2 n pi}{3} ight)=$

$=C_{n}^{0}+C_{n}^{1} cdotleft(-frac{1}{2}+i frac{sqrt{3}}{2} ight)+C_{n}^{2}left(-frac{1}{2}-i frac{sqrt{3}}{2} ight)+C_{n}^{3} cdot 1+ldots+C_{n}^{n}left(operatorname{cis} frac{2 n pi}{3} ight)=$

$\ =left(1-frac{1}{2} cdot mathrm{C}_{mathrm{n}}^{1}-frac{1}{2} cdot mathrm{C}_{mathrm{n}}^{2}+mathrm{C}_{mathrm{n}}^{3}-+ldots ight)+left(frac{sqrt{3}}{2} cdot mathrm{C}_{mathrm{n}}^{1}-frac{sqrt{3}}{2} cdot mathrm{C}_{mathrm{n}}^{2}+frac{sqrt{3}}{2} cdot mathrm{C}_{mathrm{n}}^{4}-+ldots ight) i=$

$=left(S_{0}-frac{1}{2} . S_{2} ight)+frac{i . sqrt{3}}{2}left(S_{1}-S_{3} ight)$

$=left(mathrm{S}_{0}-frac{1}{2} cdotleft(2^{mathrm{n}}-mathrm{S}_{0} ight) ight)+frac{mathrm{i} cdot sqrt{3}}{2}left(mathrm{S}_{1}-left(2^{mathrm{n}}-mathrm{S}_{0}-mathrm{S}_{1} ight) ight)$

$=left(frac{3 S_{0}}{2}-2^{n-1} ight)+frac{i sqrt{3}}{2}left(2 S_{1}-2^{n}+S_{0} ight)$

3) Segue então que:

$left{egin{array}{l}{operatorname{Re}left(1+operatorname{cis}left(frac{2 pi}{3} ight) ight)^{n}=left(frac{3 S_{0}}{2}-2^{n-1} ight)} \ {operatorname{lm}left(1+operatorname{cis}left(frac{2 pi}{3} ight) ight)^{n}=frac{sqrt{3}}{2}left(2 S_{1}-2^{n}+S_{0} ight)}end{array} ight.$

4) Ora, mas:

$\ left(1+operatorname{cis}left(frac{2 pi}{3} ight) ight)^{n}=left(1-frac{1}{2}+frac{i sqrt{3}}{2} ight)^{n}=left(frac{1}{2}+frac{i sqrt{3}}{2} ight)^{n}=left(operatorname{cis} frac{pi}{3} ight)^{n}=operatorname{cis} frac{n pi}{3}$

5) Então, voltando no passo 3:

$egin{array}{l}{operatorname{Re}left(1+operatorname{cis}left(frac{2 pi}{3} ight) ight)^{n}=cos left(frac{n pi}{3} ight)=left(frac{3 S_{0}}{2}-2^{n-1} ight)} \ {operatorname{lm}left(1+operatorname{cis}left(frac{2 pi}{3} ight) ight)^{n}=operatorname{sen}left(frac{n pi}{3} ight)=frac{sqrt{3}}{2}left(2 S_{1}-2^{n}+S_{0} ight)}end{array}$

6) Com isso, temos que:

$LARGE egin{array}{l}{S_{0}=frac{2 . cos frac{n pi}{3}+2^{n}}{3}} \ {S_{1}=frac{-cos frac{n pi}{3}+2^{n}+sqrt{3} cdot operatorname{sen} frac{n pi}{3}}{3}}end{array}$

Questão 34272

IME 2005

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