Questão 5

FUVEST 2019

Matemática

(FUVEST - 2019 - 2 fase - Questão 5)

Conforme se vê na figura, em um plano, encontram - se:

- duas retas perpendiculares r e s e o ponto O de intersecção dessas duas retas; ]

- um ponto $Qin s$ tal que a medida de $overline{OQ}$ é 5;

- uma circunferência c, centrada em Q, de raio 1;

- um ponto $Pin c$ tal que o segmento $overline{OP}$ intersecta c apenas em P.

Denotam-se $Theta = Qwidehat{O}P$ e $eta = Owidehat{Q}P$ .

a) Calcule $sen Theta$ , no caso em que $Theta$ assume o máximo valor possível na descrição acima.

b) Calcule $sen Theta$ , no caso em que $eta =60$

Ainda na figura, encontram-se:

- a reta contendo Q e P;

- a semirreta u partindo de P e contendo O;

- a semirreta w partindo de P para fora de c de modo que u e w estão em semiplanos distintos relativos a t.

Supõe-se que os ângulos formados por u e t, e por w e t sejam iguais a um certo valor a, com $0leq aleq 90$ . Caso w intersecte

r (como é o caso da figura), denotam- se R como esse único ponto de intersecção e $gamma = Owidehat{R}P.$

c) Determine a medida de $overline{OR}$ , no caso em que $alpha=45$

Gabarito:

Resolução:

a) O maior valor possível para $Theta$ será quando a semirreta u for tangente à circunferência c:

Nesse caso, $sen Theta =frac{raio de c}{OQ} = frac{1}{5} ightarrow senTheta = frac{1}{5}$

b) Quando $eta = 60^o$ teremos o seguinte triângulo:

Pela lei dos cossenos:

$x^2 = 5^2+1^2-2 cdot 5 cdot 1 cdot cos (60^o)$

$x^2 = 26-frac{10}{2}=21 ightarrow x = sqrt{21}$

Então, agora pela lei dos senos:

$frac{x}{seneta } = frac{1}{senTheta }$

$senTheta =frac{seneta }{x}=frac{sqrt{3}}{2} cdot frac{1}{sqrt{21}}=frac{1}{2sqrt{7}}$

$senTheta =frac{sqrt{7}}{14}$

c) No caso em que $alpha = 45^o$ , o triângulo OPR será retângulo

Encontrando $Theta$ :

$frac{5}{sen (135^o)} = frac{1}{senTheta }$

$\ sen Theta =frac{sqrt{2}}{2}cdotfrac{1}{5}=frac{sqrt{2}}{10} \ cos Theta = frac{7sqrt{2}}{10}$

Encontrando o valor de y:

$frac{y}{seneta }=frac{5}{sen 135^o} ightarrow frac{y}{sen(Theta + 135^o)} = frac{5}{frac{sqrt{2}}{2}} = 5sqrt{2}$

Abrindo o seno da soma de arcos e isolando y, obtemos:

$y = 5sqrt{2}[senTheta cdot cos 135^o + sen 135^o cdot cos Theta ]$

Como o 135° é o arco correspondente de 45° no segundo quadrante, temos:

$sen(135^{circ})=sen(45^{circ})$ e $cos(135^{circ})=-cos(45^{circ})$

Logo:

$y = 5sqrt{2} cdot frac{sqrt{2}}{2}[cos Theta - senTheta ] = 5[frac{7sqrt{2}}{10}-frac{sqrt{2}}{10}] = 3sqrt{2}$

Então, $frac{y}{x} = senTheta ightarrow x = frac{3sqrt{2}}{frac{sqrt{2}}{10}} = 30$

$x = 30$

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