Questão 50

FUVEST 2019

Matemática

(FUVEST - 2019)

Forma‐se uma pilha de folhas de papel, em que cada folha tem 0,1 mm de espessura. A pilha é formada da seguinte maneira: coloca‐se uma folha na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já houverem sido colocadas anteriormente. Depois de 33 dessas operações, a altura da pilha terá a ordem de grandeza:

da altura de um poste

da altura de um prédio de 30 andares

do comprimento da Av. Paulista

da distância da cidade de São Paulo (SP) à cidade do Rio de Janeiro (RJ)

do diâmetro da Terra.

Gabarito:

da distância da cidade de São Paulo (SP) à cidade do Rio de Janeiro (RJ)

Resolução:

1ª operação: 1 folha

2ª operação: 1 folha

3ª operação: 1+1 = 2 folhas

4ª operação: 1+1+2 = 4 folhas

5ª operação: 1+1+2+4 = 8 folhas

6ª operação: 16 folhas

Temos a seguinte sequência: (1,1,2,4,8,16,32,...) -> PG de razão q=2.

Após a 33ª operação teremos:

(1,1,2,4,8,16,32,64,...)

1 termo + 32 termos da PG = 33 operações

Nº folhas: $1 + S_{PG} = 1 + frac{1*(2^{32}-1)}{2-1}=2^{32} folhas$

Ordem de grandeza da altura

$H = 2^{32} folhas*0,1mm = (2^{12})^2*2^8*10^{-4}m$

$H = (4,096*10^3)^2*256*10^{-4}m$

$H = (4,0)^2*10^6*2,56*10^2*10^{-4}approx 16*3*10^4 m$

$H = 48*10^4 m cong 480 km$

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