Questão 48

FUVEST 2019

Matemática

(Fuvest 2019 – 1ª fase)

Considere a função polinomial ݂ $f:mathbb{R} ightarrow mathbb{R}$ definida por ݂f(x) = ax² + bx + c em que ܽa, b, c $in mathbb{R}$ .

No plano cartesiano xy,a única intersecção da reta y=2 com o gráfico de f é o ponto ( 2; 2) e a intersecção da reta x=0 com o gráfico de ݂f é o ponto (0; -6). O valor de ܽa+b+c é:

-2

Gabarito:

Resolução:

$f(x) = ax^2+bx+c, a eq 0$

$P(2,2) epsilon f(x)$

$Q(0,-6) epsilon f(x)$

Substituindo:

$P(2,2) ightarrow f(2) = 2 = 4a+2b+c$

$Q(0,-6) ightarrow f(0) = -6 = c$

Graficamente:

1) $P(2,2)$ é o único ponto de intersecção do polinômio com a reta y=2.

2) $f(x) = ax^2+bx+2$ é uma parábola.

3) f(x) intersecta a reta x=0.

Assim, temos que esta é a única configuração possível. Pelo gráfico, temos que:

$x_{v} = -frac{b}{2a} = 2$

$b = -4a$

Como temos:

$left{egin{matrix}2 = 4a+2b+c \ c=-6 \ b=-4a end{matrix} ight.$

Concluímos que:

$2 = 4a+2(-4a)+-6$

$4a = -8$

$a = -2$

$b = 8$

Logo,

$a + b + c = -2 + 8 -6 = 0$

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