Questão 54

FUVEST 2019

Matemática

(FUVEST 2019 – 1ª fase)

Um triângulo retângulo com vértices denominados A, B e C, apoia‐se sobre uma linha horizontal, que corresponde ao solo, e gira sem escorregar no sentido horário. Isto é, se a posição inicial é aquela mostrada na figura, o movimento começa com uma rotação em torno do vértice C até o vértice A tocar o solo, após o que passa a ser uma rotação em torno de A ,até o vértice B tocar o solo, e assim por diante.

Usando as dimensões indicadas na figura (AB = 1 e BC = 2), qual é o comprimento da trajetória percorrida pelo vértice B, desde a posição mostrada, até a aresta BC apoiar‐se no solo novamente?

$frac{3}{2}pi$

$frac{3+sqrt{3}}{3}pi$

$frac{13}{6}pi$

$frac{3+sqrt{3}}{2}pi$

$frac{8+2sqrt{3}}{3}pi$

Gabarito:

$frac{13}{6}pi$

Resolução:

No primeiro momento quando rotaciona-se em torno de C, o vértice B percorre uma trajetória de um setor circular de ângulo 180 - C, onde C é o ângulo no vértice C, pois aresta AC gira de um ângulo igual a C em relação ao solo.

1) Este setor circular possui um raio igual a CB= 2 . Chamemos $Delta s_1$ o comprimento desta primeira trajetória :

$Delta s_1=2picdot overline{BC}left ( frac{180-C}{360} ight ) : = 2picdot2 left ( frac{180-C}{360} ight )$

2) Quando AC toca o solo e rotaciona-se por A :

Seguindo o mesmo raciocínio : AB gira em torno de A com 90º, Logo a trajetória de B é a de um setor circular de 90º com raio igual a AB=1

$Delta s_2=2picdot overline{AB}left ( frac{90}{360} ight ) : = 2picdot1 left ( frac{90}{360} ight )$

3) Quando AB toca toca o solo e rotaciona-se por B, B não sai do lugar, logo sua trajetória é um ponto.

Logo o comprimento da trajetória de B será dado por :

$Delta S = Delta s_1+Delta s_2=2picdot2 left ( frac{180-C}{360} ight )+2picdot1 left ( frac{90}{360} ight )=frac{2pi}{4}+4pileft ( frac{180-C}{360} ight )$

Do triângulo ABC temos que

$sin C=frac{AB}{BC}=frac{1}{2}$ , logo C = 30º

Substituindo em $Delta S$ :

$Delta S = frac{2pi}{4}+4pileft ( frac{180-30}{360} ight )= frac{2pi}{4}+4pileft ( frac{150}{360} ight )=frac{2pi}{4}+4pileft ( frac{5}{12} ight )=frac{6pi}{12}+left ( frac{20pi}{12} ight )=left ( frac{26pi}{12} ight )=frac{13pi}{6}$

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