Questão 9

UNICAMP 2020

Matemática

(UNICAMP - 2020 - 2 fase)

Seja a função $f(x) = frac{2 + sin, x }{2+ cos x}$ , definida para todo número real $x$ .

a) Mostre que $f (pi /2) + f (-pi /2) = f(pi ), f(pi /4)$ .

b) Seja 𝜃 um número real tal que $f ( heta ) = 2$ . Determine os possíveis valores para $sen heta$ .

Gabarito:

Resolução:

a) Mostre que $f (pi /2) + f (-pi /2) = f(pi ), f(pi /4)$ .

1) Vamos encontrar os valores de cada parte da equação e depois conferir se a igualdade é verdadeira

1.1) $f(frac{pi}{2}) = frac{2 + sin, (frac{pi}{2}) }{2+ cos (frac{pi}{2})} = frac{2+1}{2 + 0} = 1,5$

1.2) $f(frac{-pi}{2}) = frac{2 + sin, (frac{-pi}{2}) }{2+ cos (frac{-pi}{2})} =frac{2-1}{2 + 0} = 0,5$

1.3) $f(pi) = frac{2 + sin, (pi) }{2+ cos (pi)}= frac{2+0}{2 -1} = 2$ .

1.4) $f(frac{pi}{4}) = frac{2+sin(frac{pi}{4})}{2 + cos(frac{pi}{4})} = 1$ ..

2) Substituindo os valores temos 1,5 + 0,5 = 2*1.

3) Logo, está provado.

b) Seja 𝜃 um número real tal que $f ( heta ) = 2$ . Determine os possíveis valores para $sen heta$ .

1) Temos que

$2 = frac{(2+sen heta)}{(2 + cos heta)}$

2) Desenvolvendo:

$4 + 2cos heta = 2 + sen heta$

3) Como $cos(x)=sqrt{1-sin^2(x)}$ , temos que

$\sen heta = 4-2 + 2sqrt{1-sen^2 heta}$

4) Desenvolvendo:

$sen heta -2 = 2sqrt{1-sen^2 heta}$

4) Elevando ambos os lados ao quadrado:

$(sen heta -2)^2 = 4 - 4sen^2 heta$

5) Logo,

$\ sen^2 heta -4sen heta + cancel4 = cancel4 -4sen^2 heta$

6) Com isso,

$\\5sen^2 heta -4sen heta =0$

6) Fatorando:

$sin heta(5 sin heta-4)=0$

7) Logo

$sen heta = 0 ou sen heta = 0,8.$

8) Substituindo na função original esses valores e fazendo os testes encontramos que eles são verdadeiros.

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