Questão 8

UNICAMP 2020

Matemática

(UNICAMP - 2020 - 2 fase)

A figura abaixo exibe, no plano cartesiano, o gráfico de $y = sqrt{x}$ para $x geq 0$ , em que os pontos 𝐴 e 𝐵 têm abscissas $x_{A} = a > 0$ e $x_{B} = b > a$ , e 𝑂 é a origem do sistema de coordenadas.

a) Prove que os pontos $A$ , $B$ e $C$ = $(-sqrt{ab}, 0)$ , são colineares.

b) Para b = 3, determine o valor de 𝑎 para o qual a distância da origem ao ponto 𝐴 é igual à distância do ponto 𝐴 ao ponto 𝐵.

Gabarito:

Resolução:

a) Prove que os pontos $A$ , $B$ e $C$ = $(-sqrt{ab}, 0)$ , são colineares.

1) Temos os seguintes pontos:

$\ A= (a, sqrt{a}) \ B= (b, sqrt{b}) \ C= (-sqrt{ab}, 0)$

2) Temos que três pontos são colineares caso

$egin{vmatrix} x_1 & y_1&1\ x_2 & y_2& 1\ x_3 &y_3 & 1 end{vmatrix}=0$

sendo x e y as coordenadas dos pontos.

3) Logo, temos que calcular

$egin{vmatrix} a & sqrt{a}&1\ b & sqrt{b}& 1\ -sqrt{ab} &0 & 1 end{vmatrix}$

4) Sabendo que

$egin{vmatrix}a&b&c\ d&e&f\ g&h&iend{vmatrix}=acdot egin{vmatrix}e&f\ h&iend{vmatrix}-bcdot egin{vmatrix}d&f\ g&iend{vmatrix}+ccdot egin{vmatrix}d&e\ g&hend{vmatrix}$

5) Logo,

$egin{vmatrix} a & sqrt{a}&1\ b & sqrt{b}& 1\ -sqrt{ab} &0 & 1 end{vmatrix} = aegin{vmatrix}sqrt{b}&1\ 0&1end{vmatrix}-sqrt{a}egin{vmatrix}b&1\ -sqrt{ab}&1end{vmatrix}+1cdot egin{vmatrix}b&sqrt{b}\ -sqrt{ab}&0end{vmatrix}$

6) Desenvolvendo:

$egin{vmatrix} a & sqrt{a}&1\ b & sqrt{b}& 1\ -sqrt{ab} &0 & 1 end{vmatrix} =asqrt{b}-sqrt{a}left(b+sqrt{ab} ight)+1cdot :bsqrt{a}$

7) Logo,

$egin{vmatrix} a & sqrt{a}&1\ b & sqrt{b}& 1\ -sqrt{ab} &0 & 1 end{vmatrix} =0$

8) Com isso, está provado que os pontos são colineares.

b) Para b = 3, determine o valor de 𝑎 para o qual a distância da origem ao ponto 𝐴 é igual à distância do ponto 𝐴 ao ponto 𝐵.

1) Sendo $d_{OA}$ a distância da origem ao ponto 𝐴 e $d_{AB}$ a distância do ponto 𝐴 ao ponto 𝐵, temos que

$d_{OA}=d_{AB}$

2) A distância entre dois pontos W(x₁, y₁) e T(x₂, y₂) é dado por:

$d_{WT}=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

3) Logo, temos que:

$sqrt{(0-a)^2+(0-sqrt{a})^2}=sqrt{(a-3)^2+(sqrt{a}-sqrt{3})^2}$

4) Elevando ambos os lados ao quadrado:

$left(sqrt{left(0-a ight)^2+left(0-sqrt{a} ight)^2} ight)^2=left(sqrt{left(a-3 ight)^2+left(sqrt{a}-sqrt{3} ight)^2} ight)^2$

5) Desenvolvendo:

$left(0-a ight)^2+left(0-sqrt{a} ight)^2=left(a-3 ight)^2+left(sqrt{a}-sqrt{3} ight)^2$

6) Expandindo:

$a^2+a=a^2-5a-2sqrt{3}sqrt{a}+12$

7) Simplificando:

$6a-12=-2sqrt{3}sqrt{a}$

8) Elevando ambos os lados ao quadrado:

$36a^2-144a+144=12a$

9) Passando 12a para o outro lado da equação e simplificando:

$36a^2-156a+144=0$

10) Dividindo toda a equação por 12:

$3a^2-13a+12=0$

11) Aplicando Bháskara:

$a_{1,:2}=frac{-left(-13 ight)pm sqrt{left(-13 ight)^2-4cdot :3cdot :12}}{2cdot :3}$

12) Logo,

$a_1=3,:a_2=frac{4}{3}$

13) Verificando a solução a=3

$sqrt{left(0-3 ight)^2+left(0-sqrt{3} ight)^2}=sqrt{left(3-3 ight)^2+left(sqrt{3}-sqrt{3} ight)^2}$

$2sqrt{3}=0$

Falso

14) Verificando a solução a=4/3

$sqrt{left(0-left(frac{4}{3} ight) ight)^2+left(0-sqrt{frac{4}{3}} ight)^2}=sqrt{left(left(frac{4}{3} ight)-3 ight)^2+left(sqrt{frac{4}{3}}-sqrt{3} ight)^2}$

$frac{2sqrt{7}}{3}=frac{2sqrt{7}}{3}$

Verdadeiro

15) Logo a solução é

$oxed{a=frac{4}{3}}$

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