Questão 6

UNICAMP 2020

Matemática

(UNICAMP - 2020 - 2 fase)

A figura abaixo exibe um triângulo isósceles com dois lados de comprimento a = 5 cm e um dos ângulos internos igual a 𝜃, em que cos 𝜃 = 3/5.

a) Calcule a área desse triângulo.

b) Determine o comprimento do raio da circunferência circunscrita a esse triângulo.

Gabarito:

Resolução:

a) Calcule a área desse triângulo.

1) A área desse triângulo pode ser calculada por

$A= frac{a cdot a cdot sin heta }{2}$

2) Sabemos que a área de um triângulo é sempre positiva, logo

$sin heta> 0$ nesse caso.

3) Aplicando a Relação Fundamental da Trigonometria, podemos encontrar o valor de $sin heta$

$sin^2 heta+ cos ^2 heta = 1$

4) Fazendo a substituição:

$sin^2 heta+(frac{3}{5})^2= 1$

5) Desenvolvendo:

$sin^2 heta= 1-frac{9}{25}$

$sin^2 heta= frac{16}{25}$

6) Tirando a raiz de ambos os lados, sabendo que $sin heta> 0$

$sin heta= frac{4}{5}$

7) Logo, a área do triângulo será

$A= frac{5 cdot 5 cdot frac{4}{5} }{2}$

$oxed{A=10cm^2}$

b) Determine o comprimento do raio da circunferência circunscrita a esse triângulo.

1) O outro lado do triângulo pode ser calculada utilizando a lei dos cossenos.

2) Aplicando a lei dos cossenos:

$x^2=5^2+5^2-2 cdot 5 cdot 5 cdot frac{3}{5}$

3) Desenvolvendo:

$x^2=50-30$

4) Logo,

$x=2sqrt{5}$

5) Considerando a área S de um triângulo ABC, onde seus lados medem a,b e c, onde o raio da circunferência circunscrita mede R, temos:

$S=frac{a cdot b cdot c}{4R}$

6) Fazendo as substituições:

$10=frac{5 cdot 5 cdot 2sqrt{5}}{4R}$

7) Fazendo multiplicação cruzada:

$20R=25sqrt{5}$

8) Logo,

$oxed{R=frac{5sqrt{5}}{4}cm}$

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