Questão 44

UNICAMP 2020

Matemática

(UNICAMP 2020)

Se um tetraedro regular e um cubo têm áreas de superfície iguais, a razão entre o comprimento das arestas do tetraedro e o comprimento das arestas do cubo é igual a

$sqrt{2}sqrt{3}$

$sqrt[4]{2}sqrt{3}$

$sqrt{2}sqrt[4]{3}$

$sqrt[4]{2}sqrt[4]{3}$

Gabarito:

$sqrt{2}sqrt[4]{3}$

Resolução:

1) A área de um triângulo equilátero é

$frac{l_T^2 cdot sqrt{3}}{4}$

2) Logo, a área de superfície de um tetraedro regular é

$4 cdot frac{l_T^2 cdot sqrt{3}}{4} = l_T^2 cdot sqrt{3}$

3) A área de um quadrado é

$l_Q^2$

4) Logo, a área de superfície de um cubo é

$6l_Q^2$

5) Como o tetraedro regular e um cubo têm áreas de superfície iguais. Logo,

$l_T^2 cdot sqrt{3} = 6l_Q^2$

6) Desenvolvendo:

$frac{ l_T^2}{l_Q^2} = frac{6}{ sqrt{3}}$

7) Com isso, a razão entre o comprimento das arestas do tetraedro e o comprimento das arestas do cubo é igual a

$frac{ l_T}{l_Q} =sqrt{ frac{6}{ sqrt{3}}}$

8) Desenvolvendo:

$frac{ l_T}{l_Q} =sqrt{ frac{6sqrt{3}}{ 3}}$

$frac{ l_T}{l_Q} =sqrt{2sqrt{3}}$

$frac{ l_T}{l_Q} =sqrt{2}sqrt[4]{3}$

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