Questão 41

UNICAMP 2020

Matemática

(UNICAMP 2020) A figura abaixo exibe o triângulo retângulo 𝐴𝐵𝐶, em que 𝐴𝐵 = 𝐴𝑀 = 𝑀𝐶. Então, tg 𝜃 é igual a

1/2

1/3

1/4

1/5

Gabarito:

1/3

Resolução:

1) Como BA = AM = MC = x, usando Teorema de Pitágoras:

$BM = sqrt{x^2+x^2}=xsqrt{2}$

$BC = sqrt{x^2+(2x)^2}=xsqrt{5}$

2) Usar lei dos cossenos para encontrar o cosseno de $heta$ :

$x^2=(xsqrt{2})^2+(xsqrt{5})^2-2 cdot xsqrt{2} cdot xsqrt{5} cdot cos heta$

3) Desenvolvendo:

$x^2=2x^2+5x^2-2 cdot x^2sqrt{10} cdot cos heta$

$1=2+5-2 sqrt{10} cdot cos heta$

$-6=-2 sqrt{10} cdot cos heta$

$frac{3}{sqrt{10}}= cos heta$

4) Usar sen²+cos²=1 para encontrar o seno de $heta$ :

$sin heta =sqrt{ 1-(frac{3}{sqrt{10}})^2}=frac{1}{sqrt{10}}$

5) Encontrar a tangente:

$frac{frac{1}{sqrt{10}}}{frac{3}{sqrt{10}}}=frac{1}{3}$

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