Questão 7267

UNICAMP 2012

Matemática

(UNICAMP - 2012 - 1ª FASE) A área do triângulo OAB esboçado na figura abaixo é

Gabarito:

Resolução:

Chamando de $C$ o ponto tal que $OCperp AB$ , $D$ a altura de $C$ sob $OA$ e de $alpha$ o angulo $widehat{COA}$ , fazendo as devidas marcações de angulo , teremos a seguinte representação:

Por pitagoras sabemos que $overline{OC}^2 = 2^2+1^2 ightarrow overline{OC}= sqrt5$

Utilizando a relação de semelhança entre os triangulos $Delta OCD$ e $Delta OCA$ , existente pelo caso $AAA$ , temos que :

$frac{overline{OC}}{1} = frac{overline{OA}}{overline{OC}}$

$overline{OA}=overline{OC}^2 = 5$

Utilizando novamente semelhança de triangulos, mas dessa vez entre os $Delta OBA$ e $Delta OCD$ , temos:

$frac{overline{OD}}{overline{DC}} = frac{overline{OB}}{overline{OA}}$

$frac{1}{2} = frac{overline{OB}}{5} ightarrow overline{OB} = frac{5}{2}$

Com isso podemos calcular a area de $Delta OAB$ que é igual a:

$frac{overline{OB}cdotoverline{OA}}{2} = frac{5cdotfrac{5}{2}}{2}$

$A = frac{25}{4}$

Portanto, a alternativa correta é a LETRA C.

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