Questão 10

UNICAMP 2012

Matemática

(UNICAMP - 2012 - 1ª FASE) Para construir uma curva “floco de neve”, divide-se um segmento de reta (Figura 1) em três partes iguais. Em seguida, o segmento central sofre uma rotação de 60º, e acrescenta-se um novo segmento de mesmo comprimento dos demais, como o que aparece tracejado na Figura 2. Nas etapas seguintes, o mesmo procedimento é aplicado a cada segmento da linha poligonal, como está ilustrado nas Figuras 3 e 4.

Se o segmento inicial mede 1 cm, o comprimento da curva obtida na sexta figura é igual a

$left ( frac{6!}{4! 3!} ight )$ cm.

$left ( frac{5!}{4! 3!} ight )$ cm.

$left ( frac{4}{3} ight )^{5}$ cm.

$left ( frac{4}{3} ight )^{6}$ cm.

Gabarito:

$left ( frac{4}{3} ight )^{5}$ cm.

Resolução:

Segmento inicial: 1 cm.

Depois da primeira divisão, temos que o comprimento total será 1 cm + $frac{1}{3}$ cm = $frac{4}{3}$ cm.

Depois da segunda divisão, temos que o comprimento total será $frac{4}{3}$ cm + $left ( frac{1}{3} . frac{1}{3} ight )$ cm + $left ( frac{1}{3} . frac{1}{3} ight )$ cm + $left ( frac{1}{3} . frac{1}{3} ight )$ cm + $left ( frac{1}{3} . frac{1}{3} ight )$ cm = $frac{16}{9}$ cm.

Note que teremos uma PG, cujo primeiro termo é = 1 cm e a razão é q = $frac{4}{3}$ : PG(1 cm; $frac{4}{3}$ cm; $frac{16}{9}$ cm; $frac{64}{27}$ cm; ...)

Desse modo, o termos geral da PG é o comprimento final da curva depois de n procedimentos:

= 1 cm . $left ( frac{4}{3} ight )^{n}$

Então na sexta figura, teremos 5 procedimentos, logo o comprimento será = 1 cm . $left ( frac{4}{3} ight )^{5}$ = $left ( frac{4}{3} ight )^{5}$ cm.

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