Questão 48594

UNICAMP 2012

Matemática

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questão 12)

Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos situados à margem de um riacho, como mostra a figura a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostradas na figura, bem como os ângulos especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um teodolito.

a) Calcule a distância entre A e B.

b) Calcule a distância entre B e D.

Gabarito:

Resolução:

$A)$ Pela Lei dos senos temos:

$frac{sen(widehat{CAB})}{sen(widehat{ACB})} = frac{overline{CB}}{overline{AB}}$

$frac{sen(pi - widehat{ABC} - widehat{ACB})}{sen(30^{circ})} = frac{15}{overline{AB}}$

$frac{sen(pi - 60^{circ})}{sen(30^{circ})} = frac{15}{overline{AB}}$

$frac{frac{sqrt3}{2}}{frac{1}{2}} = frac{15}{overline{AB}}$

$frac{sqrt3}{1} = frac{15}{overline{AB}} ightarrow overline{AB} = 5sqrt3$

$B)$ Pela Lei dos cossenos, temos que:

$overline{BD}^2 = overline{CD}^2 + overline{CB}^2 - 2 cdotoverline{CD}cdotoverline{CB}cdot cos(widehat{BCD})$

$overline{BD}^2 = 10^2 + 15^2 - 2 cdot10cdot15cdot frac{1}{2}$

$overline{BD}^2 = 100 + 225 - 150 = 175$

$overline{BD} = 5sqrt7$

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