Questão 48591

UNICAMP 2012

Matemática

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questão 10)

Seja dada a matriz

$A=egin{bmatrix} x & 2& 0\ 2& x &6 \ 0&6 &16x end{bmatrix}$

em que x é um número real.

a) Determine para quais valores de x o determinante de A é positivo

b) Tomando

$C=egin{bmatrix} 3\ 4\ -1 end{bmatrix}$

e supondo que, na matriz A, x = –2, calcule B = AC.

Gabarito:

Resolução:

$A)$ O determinante de $A$ é equivalente a seguinte expressão:

$det(A) = 16x^3- 36x - 64x = 16x^3 - 100x$

Os valores para os quais esse valor é nulo são:

$16x^3 - 100x = 0$

$x(16x^2 - 100) = 0 ightarrow x = 0$ ou $16x^2=100 ightarrow x = pm frac{10}{4} = pm frac{5}{2}$

Montando um esboço do gráfico, teremos:

Logo $-frac{5}{2} < x < 0$ ou $x > frac{5}{2}$ .

$B)$ $A=egin{bmatrix} -2 & 2& 0\ 2& -2 &6 \ 0&6 &-32 end{bmatrix}$ , multiplicando por $C$ , temos que :

$B=egin{bmatrix} -2 & 2& 0\ 2& -2 &6 \ 0&6 &-32 end{bmatrix}cdotegin{bmatrix} 3\ 4\ -1 end{bmatrix}$

$B=egin{bmatrix} 2 \ -8 \ 56 end{bmatrix}$

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