Questão 48572

UNICAMP 2012

Matemática

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questão 1)

O velocímetro é um instrumento que indica a velocidade de um veículo. A figura abaixo mostra o velocímetro de um carro que pode atingir 240 km/h. Observe que o ponteiro no centro do velocímetro gira no sentido horário à medida que a velocidade aumenta.

a) Suponha que o ângulo de giro do ponteiro seja diretamente proporcional à velocidade. Nesse caso, qual é o ângulo entre a posição atual do ponteiro (0 km/h) e sua posição quando o velocímetro marca 104 km/h?

b) Determinado velocímetro fornece corretamente a velocidade do veículo quando ele trafega a 20 km/h, mas indica que o veículo está a 70 km/h quando a velocidade real é de 65 km/h. Supondo que o erro de aferição do velocímetro varie linearmente com a velocidade por ele indicada, determine a função v(x) que representa a velocidade real do veículo quando o velocímetro marca uma velocidade de x km/h.

Gabarito:

Resolução:

$A)$ Como a relação é proporcional:

$frac{Vel}{ heta} = cte$

$frac{240}{210} = frac{104}{eta}Rightarrow eta = 91^{circ}$

$B)$ Como o erro varia linearmente com a velocidade, podemos dizer que o adicional em relação ao real pode ser escrito como:

$erro = acdot V + b$

Assim, podemos descrever a velocidade real como:

$x = V + erro = V + Vcdot a + b$

Dos casos dados na questão, quando $V = 20$ e $V = 65$ , temos que:

$erro = acdot 20 + b = 0 ightarrow b = -20a$

$x_{65} = 65 + 65cdot a + -20a ightarrow 70 = 65 + 45a$

$5 = 45a ightarrow a = frac{1}{9}$

Com isso, temos que $x = V + frac{V-20}{9}$ , portanto:

$V = frac{9x + 20}{10}$

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