Questão 51880

UNICAMP 2008

Matemática

(UNICAMP - 2008 - 2 fase - Questão 11)

Suponha que um livro de 20 cm de largura esteja aberto conforme a figura abaixo, sendo DAC = 120º e DBC = 60º.

a) Calcule a altura AB do livro.

b) Calcule o volume do tetraedro de vértices A, B, C e D.

Gabarito:

Resolução:

Seja l a medida do lado do triângulo equilátero BCD, no triângulo isósceles CAD temos que AC = AD = 20 cm.

Portanto, a medida l do lado CD é, em centímetros, dada por:

$l^{2} = 20^{2} + 20^{2} - 2 cdot 20 cdot 20 cdot cos 120^{circ}$

$l^{2} = 1200 Rightarrow l = 20sqrt{3}$

No triângulo retângulo ABC, temos:

$(AB^{2}) + (AC)^{2} = (BC)^{2}$

$(AB) ^{2} + 20^{2} = (20sqrt{3})^{2}$

$(AB)^{2} = 800 Rightarrow AB = 20sqrt{2} cm$

Se S é a área do triângulo CAD, temos que:

$S = frac{20 cdot 20 cdot sen 120^{circ}}{2} = 100sqrt{3}$

O volume V do tetraedo de vértices A, B, C e D, é:

$V = frac{1}{3} cdot S cdot (AB) = frac{1}{3} cdot 100sqrt{3} cdot 20sqrt{2}$

$V = frac{2000sqrt{6}}{3}$

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