Questão 51876

UNICAMP 2008

Matemática

(UNICAMP - 2008 - 2 fase - Questão 10)

Uma ponte levadiça, com 50 metros de comprimento, estende-se sobre um rio. Para dar passagem a algumas embarcações, pode-se abrir a ponte a partir de seu centro, criando um vão AB , conforme mostra a figura abaixo. Considerando que os pontos A e B têm alturas iguais, não importando a posição da ponte, responda às questões abaixo.

a) Se o tempo gasto para girar a ponte em 1º equivale a 30 segundos, qual será o tempo necessário para elevar os pontos A e B a uma altura de 12,5 m, com relação à posição destes quando a ponte está abaixada?

b) Se α = 75º, quanto mede AB?

Gabarito:

Resolução:

a) A ponte abre pelo centro, logo AD = BC = 25 cm.

Para que AE seja igual a 12,5 cm, temos que:

$sen alpha = frac{1}{2} = frac{12,5}{25}$

Portanto, $alpha = 30 ^{circ}$

Assim, o tempo gasto para abrir a ponte em 30º será 30 x 30 = 900 segundos = 15 minutos.

b) Se $alpha = 75 ^{circ}$ , então $cosalpha = cos (45^{circ} + 30 ^{circ})$

Assim:

$cos alpha = cos 45^{circ} cdot cos 30^{circ} - sen 45^{circ } cdot sen 30^{circ}$

$cos alpha = frac{sqrt{2}}{2} cdot frac{sqrt{3}}{2} - frac{sqrt{2}}{2} cdot frac{1}{2}$

$cosalpha = frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4}$

Nessa condição, pode-se afirmar que:

DE' = CF' = AD x cos $alpha$

Portanto:

$DE = Cf = frac{25(sqrt{6}-sqrt{2})}{4} m$

Por outro lado, tem-se:

$AB = EF e DE + EF + Cf = DC$

$AB = DC - 2DE$

Assim:

$AB = 50 - 2 cdot frac{25(sqrt{6}-sqrt{2})}{4}$

$AB = frac{25(4+sqrt{2}-sqrt{6})}{2} m$

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