Questão 11

UNICAMP 2002

Matemática

(UNICAMP - 2003 - 2 fase - Questão 11)

Considere a equação $2^{x}+m2^{2-x}-2m-2=0$ , onde m é um número real.

a) Resolva essa equação para m = 1.

b) Encontre todos os valores de m para os quais a equação tem uma única raiz real.

Gabarito:

Resolução:

a) m = 1, então temos a equação:

$\ 2^{x} + 2^{2-x} -4 = 0 \ \ 2^{x} + frac{4}{2^{x}} -4 = 0 \ \ (2^{x})^{2} -4.(2)^{x}+4 = 0 \ \ (2^{x}-2)^{2} = 0 \ \ 2^{x} = 2 \ \ x = 1 \ \ V= {1}$

$\ 2^{x} +m.2^{2-x} -2m -2 = 0 \ \ 2^{x} + m . 2^{2-x} -2m -2 = 0 \ \ 2^{x}+ m . frac{4}{2^{x}} -2m -2 = 0 \ \ (2^{x})^{2} - (2m +2). 2^{x} +4m = 0 \ \$

vamos chamr 2^{x} = y

$\ y^{2} - (2m+2)y + 4m = 0 \ \$

Temos que equação:

$(2^{x})^{2} = (2m+2)2^{x} +4m = 0$

Vai admitir uma raíz real se for deficina por:

$f(y) = y^{2} -(2m+2)y +4m , y > 0$

Assim :

$\ Delta = [-(2m+2)]^{2} -4.4m = (2m-2)^{2} \ \ S = y_{1} + y_{2} = 2m +2 e P = y_{1}. y_{2} = 4m$

Então se:

$Delta = 0 ightarrow P > 0 e S > 0 \ \ Delta > 0 ightarrow P = 0 e S > 0 \ \ Delta < 0 ightarrow P < 0$

Temos então:

$\ (2m-2)^{2} = 0 ightarrow 4m > 0 e 2m+2 > 0 \ \ (2m-2)^{2} > 0 ightarrow 4m = 0 e 2m+2 > 0 \ \ (2m-2)^{2} < 0 ightarrow 4m < 0$

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