Questão 7

UNICAMP 2002

Matemática

(UNICAMP - 2003 - 2 fase - Questão 7)

Seis círculos, todos de raio 1cm, são dispostos no plano conforme mostram as figuras ao lado:

a) Calcule a área do triângulo ABC.

b) Calcule a área do paralelogramo MNPQ e compare-a com a área do triângulo ABC.

Gabarito:

Resolução:

$\ tg(30) = frac{1}{x} \ \ x = frac{cos(30)}{sen(30)} = frac{frac{sqrt{3}}{2}}{frac{1}{2}} = sqrt{3}$

De modo que o comprimento do lado ABC é:

$L = 4 + 2sqrt{3}$ e sua altura pode ser calculada assim:

$h^{2} = (4+2sqrt{3})^{2} -(2+sqrt{3})^{2}$

$h = (2+sqrt{3})sqrt{3} = 3+2sqrt{3}$

A área do triângulo é, então, dada por:

$A_{t} = frac{(4+2sqrt{3})(3+2sqrt{3})}{2} = 12 +7sqrt{{3} }cm^{2}$

$tg(60) = frac{1}{x} = frac{frac{sqrt{3}}{2}}{frac{1}{2}} = sqrt{3}$ , então:

$l = sqrt{3} + frac{sqrt{3}}{3} + 2 = frac{4sqrt{3}+6}{3}$

$\ sen(60) = frac{h}{l} = frac{sqrt{3}}{2} \ \ h = 2 + sqrt{3}$

$\ A_{p} = (4+sqrt{3} + frac{sqrt{3}}{3})(2+sqrt{3}) = 12 + frac{20}{3} sqrt{3} cm^{2}$

$A_{t} > A_{p} , pois:$

$7 > frac{20}{3}$

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