Questão 16

UFPR 2021

Matemática

(UFPR - 2021 - 1ª FASE) Considere a seguinte matriz:

$A=egin{pmatrix} sen heta &7 &-cos heta \ cos heta&7 &sen heta \ sen heta& 13 & cos heta end{pmatrix}$

Assinale a alternativa que corresponde à soma dos valores de $heta in [0,pi]$ que satisfazem $detA = -13$ .

$frac{pi}{4}$

$frac{2pi}{3}$

$frac{3pi}{4}$

$2pi$

$4pi$

Gabarito:

$frac{3pi}{4}$

Resolução:

$A=egin{pmatrix} sen heta &7 &-cos heta \ cos heta&7 &sen heta \ sen heta& 13 & cos heta end{pmatrix}$

$det(A)=egin{vmatrix} sen heta &7 &-cos heta \ cos heta&7 &sen heta \ sen heta& 13 & cos heta end{vmatrix}$

$det(A)=7sen( heta)cos( heta)+7sen^2( heta)-13cos^2( heta)-[-7sen( heta)cos( heta)+13sen^2( heta)+7cos^2( heta)]$

$det(A)=14sen( heta)cos( heta)-6sen^2( heta)-20cos^2( heta)$

$det(A)=7sen(2 heta)-6-14cos^2( heta)$

$7sen(2 heta)-6-14cos^2( heta)=-13$

$7sen(2 heta)=14cos^2( heta)-7$

$sen(2 heta)=2cos^2( heta)-1$

$sen(2 heta)=cos(2 heta)$

$sen(2 heta)-cos(2 heta)=0$

$frac{sqrt{2}}{2}sen(2 heta)-frac{sqrt{2}}{2}cos(2 heta)=0$

$senleft ( 2 heta - frac{pi}{4} ight )=0$

$2 heta - frac{pi}{4}=kpi$

$heta=frac{pi}{8}+frac{kpi}{2}$ ⇒ $heta_1=frac{pi}{8}$ e $heta_2=frac{5pi}{8}$

$heta_1+ heta_2=frac{1pi}{8}+frac{5pi}{8}=frac{6pi}{8}$

$heta_1+ heta_2=frac{3pi}{4}$

Alternativa correta é Letra C.

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