Questão 14

UFPR 2021

Matemática

(UFPR - 2021 - 1ª FASE)

Na figura ao lado, temos uma circunferência de raio $r>0$ com centro na origem do plano complexo e, ao longo da circunferência, temos 6 números complexos: $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}, z_{5}, z_{6}$ . Supondo que os 6 números complexos são vértices de um hexágono regular e que $z_{1}$ está no eixo x, considere as seguintes equações:

$z_{2} + z_{6} = r^{2}$
$overline{z_{3}} = z_{5}$
$z_{2} cdot z_{3} = z_{4}$
$frac{z_{5}}{z_{6}} = frac{z_{6}}{r}$

Assinale a alternativa correta.

Somente a equação 3 é verdadeira.

Somente as equações 1 e 3 são verdadeiras.

Somente as equações 2 e 4 são verdadeiras.

Somente as equações 1, 2 e 4 são verdadeiras.

As equações 1, 2, 3 e 4 são verdadeiras.

Gabarito:

Somente as equações 2 e 4 são verdadeiras.

Resolução:

Notamos pela figura que os complexos $z_1$ , $z_2$ , $z_3$ , $z_4$ , $z_5$ e $z_6$ correspondem às raízes da equação $z^6=r^6$ , que é similar ás raízes sextas da unidade. Mas não podemos considerar $z^6=1$ , porque não foi informado o valor de $r$ .

$z^6=r^6$

$|z|^6 cis(6 heta)=r^6 cdot cis(0)$

$|z|=r$ e $6 heta = 0+2kpi$

$z=rcis left ( frac{kpi}{3} ight )$ , em que $k in mathbb{N}$

Assim: $z_1 =r cis(0)$ , $z_2 =r cisleft ( frac{pi}{3} ight )$ , $z_3 = rcisleft ( frac{2pi}{3} ight )$ , $z_4 =r cisleft ( pi ight )$ , $z_5 =r cisleft ( frac{4pi}{3} ight )$ , $z_6 =r cisleft ( frac{5pi}{3} ight )$ .