Questão 42915
UECE 2017
Seja X um conjunto formado por 15 pontos distintos do espaço, o qual tem um subconjunto Y formado por 5 pontos coplanares. Sempre que são considerados quatro pontos coplanares, esses pontos estão em Y. O número de planos determinados por esses 15 pontos de X é igual a
595
446
465
485
Gabarito:
446
Resolução:
Para fins facilitadores, seja Z=X-Y. Algumas coisas devem ser observadas antes de começar a fazer as contas neste problema:
i) Nenhum dos pontos de Z está no mesmo plano que contém os pontos de Y, pois coso contrário violaria "Sempre que são considerados quatro pontos coplanares, esses pontos estão em Y".
ii) analogamente quaisquer 4 pontos de Z são não coplanares.
iii) qualquer plano que contenha dois pontos de Y conterá no máximo um único ponto de Z e vice-versa.
Com isso podemos considerar 4 casos:
1) O plano que contém todos os pontos de Y
2) os planos que contém dois pontos de Y e apenas um de Z
3) os planos que contém dois pontos de Z e apenas um de Y
4) os planos que contém 3 pontos de Z
estes conjuntos não se intersectam e são todas as possibilidade de planos com 3 pontos no conjunto X. Calculando agora a soma em cada um deles: