Questão 10

ITA 2023

Matemática

(ITA - 2023 - 2ª FASE)

Em um decágono convexo, de quantas formas podemos escolher duas diagonais que não se interceptam?

Gabarito:

Resolução:

1) Decágono → $n=10$

Total de diagonais:

$d=frac{n(n-3)}{2}$

$d=frac{10 cdot 7}{2}=35$

Total de possibilidade de se escolher duas diagonais:

$C_{35,2}=frac{35!}{33!2!}=595$

2) Vamos escolher duas diagonais quaisquer que se interceptam:

Note que cada par de diagonais que se interceptam forma internamente um quadrilátero. Desse modo, o número de pares de diagonais que se interceptam pode ser obtido pela quantidade de quadriláteros que podem ser formados no polígono:

$T_1=C_{10,4}=frac{10!}{4!6!}=210$ quadriláteros podem ser formados → 210 formas de se escolher duas diagonais, sendo que estas se interceptam internamente