Questão 37

ITA 2023

Matemática

(ITA - 2023 - 1ª FASE)

Considere $A;in; M_{3};mathbb{R}$ tal que existe um único número real $x$ que satisfaz a equação $det(sqrt[3]{2}x^{2}A)+det(x;A^{3}) = detA^{2}$ .

Então, $x+detA$ é

A

-5.

B

-4.

C

-3.

D

-2.

E

-1.

Gabarito:

-3.

Resolução:

Sejam $A$ matrizes de $detA eq 0$ .

$det(xA)= x^3.detA$ (visto que é uma matriz 3x3)

3) $det(sqrt[3]{2}x^2A)+det(xA^3)=detA^2$

$det(sqrt[3]{2}x^2A)+det(xA^3)=detA^2 Leftrightarrow (sqrt[3]{2}x^2)^3.detA+x^3.detA^2-detA^2=0$

$2x^6.detA+x^3.detA^3-detA^2=2detA(x^3)^2+detA^3.(x^3)-detA^2$ (*)

Considerando $x^3=y$ :

$2detAy^2+detA^3y-detA^2$

$Delta =0$ , pois a solução é uma única raiz real, logo:

$detA^6+4.2.detAdetA^2=detA^6+8detA^3=0$

$detA^3.(detA^3+8)=0 ightarrow detA^3=-8 ightarrow detA=-2$

Retornando à solução da equação (*):

$2x^6(-2)+x^3.(-2)^3-4=-4x^6-8x^3-4=0$

$x^6+2x^3+1=0$

Sendo $x^3=y$ :

$y^2+2y+1=(y+1)^2=0$

$y=-1 ightarrow x^3=-1$

$x=-1$

$x+detA=-1-2=-3$ .

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